Metrica L₁ Distanza di Manhattan

E se Ο€ valesse esattamente 4?

Cambia il modo di misurare le distanze β€” non "in linea d'aria" ma "per isolati" β€” e la geometria si trasforma: i cerchi diventano quadrati, le ellissi ottagoni.

Geometria del Taxi

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Β§1

Fondamenti Teorici: la Metrica L₁

Immaginiamo una cittΓ  a griglia perfetta β€” Manhattan. Per andare dall'angolo A all'angolo B non possiamo volare in diagonale: percorriamo solo blocchi orizzontali e verticali. Quella che misuriamo Γ¨ la distanza di Manhattan, o distanza L₁ β€” si conta a isolati, non in linea d'aria.

Un dettaglio sorprendente: tra A e B non esiste una sola strada piΓΉ corta, ma infinite β€” ogni "scaletta" di passi orizzontali e verticali ha esattamente la stessa lunghezza. È da qui che nasce tutta la geometria che segue.

Definizione 1.1 β€” Metrica L₁ (distanza di Manhattan)
Dati due punti P(x, y) e A(xₐ, yₐ) nel piano reale ℝ², si definisce la distanza di Manhattan:

d₁(P, A) = |x βˆ’ xₐ| + |y βˆ’ yₐ|
L₁ Γ¨ una vera distanza (una metrica): mai negativa, simmetrica β€” d₁(A,B) = d₁(B,A) β€” e rispetta la disuguaglianza triangolare. Ma attenzione: non Γ¨ invariante per rotazioni. Ruotando il piano, due stesse cittΓ  possono ritrovarsi a distanza-taxi diversa β€” qualcosa che nella geometria euclidea non succede mai.
Dettaglio matematico Β· sciogliere i moduli

I valori assoluti rendono il calcolo meno diretto che nella metrica euclidea. Per trattarli algebricamente bisogna "scioglierli", distinguendo i casi in base al segno dell'argomento.

Definizione 1.2 β€” Scioglimento di |x βˆ’ c|
Per ogni costante c ∈ ℝ, si ha:

|x βˆ’ c| = x βˆ’ c  se x β‰₯ c
|x βˆ’ c| = c βˆ’ x  se x < c

Il valore x = c Γ¨ detto valore critico e corrisponde alla retta verticale che separa i due casi.

Le rette critiche partizionano il piano in regioni in ciascuna delle quali tutti i moduli hanno segno costante, riducendo l'equazione del luogo a un sistema lineare. Questa tecnica β€” la griglia di regioni β€” Γ¨ il metodo unificante di tutta la geometria del taxi.

ProprietΓ  Metrica Lβ‚‚ (euclidea) Metrica L₁ (Manhattan)
Formula √((xβˆ’xₐ)Β² + (yβˆ’yₐ)Β²) |xβˆ’xₐ| + |yβˆ’yₐ|
"Cerchio" unitario Cerchio continuo Quadrato ruotato 45Β°
Natura dei luoghi Coniche (curve lisce) Poligoni (segmenti)
Simmetrie Tutte le rotazioni Solo riflessioni assiali
Disuguaglianza dβ‚‚ ≀ d₁ d₁ ≀ √2 Β· dβ‚‚

E se cercassimo tutti i punti a uguale distanza da un centro? In linea d'aria Γ¨ un cerchio. A isolati… preparati a una sorpresa.

β€”
Trascina A e B: tante scalette diverse, stessa lunghezza (la diagonale tratteggiata Γ¨ la scorciatoia vietata, piΓΉ corta).
Β§2

La Circonferenza Taxicab

Cos'Γ¨ un "cerchio"? L'insieme dei punti a distanza fissa R dal centro. In linea d'aria viene la curva tonda che conosciamo. A isolati, invece, i punti a distanza R formano un quadrato ruotato di 45Β° β€” un rombo, con le quattro punte sui semiassi.

È qui che spunta il risultato piΓΉ sorprendente: misurando tutto con il taxi, il rapporto perimetro/diametro non vale 3,14… ma esattamente Ο€ = 4.

Definizione 2.1 β€” Circonferenza Taxicab
La circonferenza taxicab di centro C(xκœ€, yκœ€) e raggio R Γ¨ l'insieme dei punti P(x, y) tali che:

d₁(P, C) = R  βŸΊ  |x βˆ’ xκœ€| + |y βˆ’ yκœ€| = R
Dettaglio matematico Β· le 4 regioni e i vertici

Le rette critiche x = xκœ€ e y = yκœ€ dividono il piano in 4 quadranti. In ciascuno i moduli si sciolgono con segni costanti, riducendo l'equazione a una retta.

RegioneCondizioneEquazione scioltaPendenza
RI (NE)x β‰₯ xκœ€, y β‰₯ yκœ€y = βˆ’x + (xκœ€ + yκœ€ + R)βˆ’1
RII (NW)x < xκœ€, y β‰₯ yκœ€y = x βˆ’ (xκœ€ βˆ’ yκœ€ βˆ’ R)+1
RIII (SW)x < xκœ€, y < yκœ€y = βˆ’x + (xκœ€ + yκœ€ βˆ’ R)βˆ’1
RIV (SE)x β‰₯ xκœ€, y < yκœ€y = x βˆ’ (xκœ€ βˆ’ yκœ€ + R)+1
Teorema 2.1
La circonferenza taxicab Γ¨ un quadrato ruotato di 45Β° con vertici:
VN = (xκœ€, yκœ€+R),  VE = (xκœ€+R, yκœ€),  VS = (xκœ€, yκœ€βˆ’R),  VW = (xκœ€βˆ’R, yκœ€).

Perimetro taxicab: 8R.  Perimetro euclideo: 4R√2.  Area: 2RΒ².

Una conseguenza notevole. Definiamo il "Ο€" di questa geometria come il rapporto tra perimetro e diametro, misurando tutto nella metrica del taxi. Ogni lato del rombo, percorso a isolati, vale |Ξ”x| + |Ξ”y| = R + R = 2R: quattro lati danno un perimetro taxicab di 8R. Quindi:

π₁ = perimetro taxicab / diametro = 8R / 2R = 4 Ogni lato del rombo, "a isolati", misura |Ξ”x|+|Ξ”y| = R+R = 2R β†’ 4 lati = 8R. (Il perimetro euclideo sarebbe 4R√2 β‰ˆ 5.66Β·R, ma non Γ¨ la misura naturale di questa geometria.)

Il valore π₁ = 4 (rispetto a Ο€ β‰ˆ 3.14159…) Γ¨ uno dei risultati piΓΉ sorprendenti della geometria del taxi.

Un centro solo ci ha dato un rombo. E con due fuochi, chiedendo che la somma delle distanze resti costante?

R 3
xκœ€ 0
Perimetro = β€” | Area = β€” | π₁ = 4
Trascina il centro Β· muovi P Β· usa lo slider. La scaletta Γ¨ il percorso-taxi dal centro a P, sempre lungo R.
Β§3

Ellisse Taxicab: il Metodo delle 9 Regioni

L'ellisse, "a isolati": prendi due fuochi e cerca tutti i punti da cui due taxi, partendo dai due fuochi, percorrono in totale sempre la stessa distanza. In linea d'aria otterresti l'ovale di sempre. Con il taxi ottieni β€” quasi sempre β€” un ottagono.

Per scioglierla servono ora quattro rette critiche (una per coordinata di ciascun fuoco), che tagliano il piano in una griglia 3Γ—3: il metodo delle 9 regioni.

Definizione 3.1 β€” Ellisse Taxicab
Dati F₁(x₁, y₁), Fβ‚‚(xβ‚‚, yβ‚‚) e una costante 2a > d₁(F₁, Fβ‚‚), l'ellisse taxicab Γ¨:

𝓔 = { P(x,y) : d₁(P,F₁) + d₁(P,Fβ‚‚) = 2a }
Dettaglio matematico Β· le 9 regioni e la forma

Poniamo dβ‚€ = d₁(F₁,Fβ‚‚) e k = a βˆ’ dβ‚€/2. Le rette critiche x = x₁, x = xβ‚‚, y = y₁, y = yβ‚‚ creano una griglia 3Γ—3 di 9 regioni Rij. Questa partizione Γ¨ la chiave del metodo.

Analizzando il segno dei moduli in ciascuna regione, si ottengono i contributi al luogo geometrico:

  • R22 (tra i fuochi): la somma vale costantemente dβ‚€ β†’ contribuisce solo se 2a = dβ‚€
  • R21 e R23 (sopra/sotto tra i fuochi): rette orizzontali
  • R12 e R32 (a sinistra/destra tra i fuochi): rette verticali
  • R11, R13, R31, R33 (angoli esterni): rette con pendenza Β±1
Proposizione 3.1 β€” Forma
Per fuochi obliqui (x₁≠xβ‚‚ e y₁≠yβ‚‚) e 2a > dβ‚€, l'ellisse taxicab Γ¨ sempre un ottagono (8 lati), qualunque sia 2a. Per fuochi allineati (orizzontali, y₁=yβ‚‚, o verticali, x₁=xβ‚‚) Γ¨ un esagono (6 lati). Nel caso degenere 2a = dβ‚€ collassa nel rettangolo [x₁,xβ‚‚]Γ—[y₁,yβ‚‚] (Prop. 3.2).
Proposizione 3.2 β€” Caso Degenere
Se 2a = dβ‚€, il luogo non Γ¨ una linea ma una regione bidimensionale: il rettangolo [x₁,xβ‚‚] Γ— [y₁,yβ‚‚]. Ogni punto interno ha somma delle distanze esattamente pari a dβ‚€.

Esempio numerico. F₁(0,0), Fβ‚‚(4,2) (fuochi obliqui), 2a = 10.

DatoCalcoloValore
dβ‚€|4βˆ’0| + |2βˆ’0|6
ka βˆ’ dβ‚€/2 = 5 βˆ’ 32
Estensione xdal vertice sinistro a quello destroda βˆ’2 a 6
Estensione ydal vertice basso a quello altoda βˆ’2 a 4
Formafuochi obliqui β†’ sempre ottagonoottagono (8 vertici)

Gli 8 vertici sono (βˆ’2,0), (0,βˆ’2), (4,βˆ’2), (6,0), (6,2), (4,4), (0,4), (βˆ’2,2): un ottagono, non un esagono. L'esagono comparirebbe solo se i due fuochi fossero allineati.

Somma costante β†’ ottagono. E se invece imponiamo che resti costante la loro differenza?

2a 8
dβ‚€ = β€” | k = β€”
Trascina i fuochi Β· muovi P Β· usa lo slider 2a. Le due scalette sono i percorsi-taxi verso i fuochi: la loro somma resta costante.
Β§4

Iperbole Taxicab: la Differenza delle Distanze

Se l'ellisse chiede una somma costante, l'iperbole chiede una differenza costante: i punti da cui un taxi arriva a un fuoco percorrendo sempre 2a isolati in piΓΉ (o in meno) rispetto all'altro. Il risultato sono due rami separati.

Ecco il perchΓ© della loro forma: quando i due fuochi sono allineati in orizzontale, "spostarsi in alto o in basso" cambia le due distanze-taxi nello stesso modo, lasciando invariata la differenza. Per questo ogni ramo diventa un segmento verticale dritto.

Dettaglio matematico Β· i due rami e le regioni
Definizione 4.1 β€” Iperbole Taxicab
Dati F₁(x₁,y₁), Fβ‚‚(xβ‚‚,yβ‚‚) e 0 < 2a < d₁(F₁,Fβ‚‚):

β„‹ = { P(x,y) : |d₁(P,F₁) βˆ’ d₁(P,Fβ‚‚)| = 2a }

Equivale a due rami: d₁(P,F₁) βˆ’ d₁(P,Fβ‚‚) = +2a e d₁(P,F₁) βˆ’ d₁(P,Fβ‚‚) = βˆ’2a.

Applicando il metodo delle 9 regioni al Ramo 1 (differenza = +2a), si ottengono i seguenti risultati nelle regioni non banali:

RegioneRisultato
R11 (NW esterno)Nessuna soluzione
R33 (SE esterno)Esiste solo se 2a = dβ‚€
R21Segmento verticale x = (x₁+xβ‚‚)/2 + a
R23Segmento x = (x₁+xβ‚‚)/2 + a βˆ’ (yβ‚‚βˆ’y₁)/2
Proposizione 4.1
Per 0 < 2a < dβ‚€, l'iperbole taxicab Γ¨ formata da due rami poligonali. Per fuochi su asse orizzontale (y₁ = yβ‚‚): i due rami sono due segmenti verticali paralleli. Per fuochi obliqui: ogni ramo Γ¨ un poligono a 3–4 lati.

Due fuochi, due rami. Ultimo atto: un fuoco e una retta, da cui essere equidistanti.

2a 2
dβ‚€ = β€” | 2a = β€”
Trascina i fuochi Β· muovi P Β· usa lo slider 2a. Qui resta costante la differenza delle due distanze-taxi.
Β§5

La Parabola Taxicab

Ultimo caso: la parabola. Stavolta il confronto non Γ¨ tra due fuochi, ma tra un fuoco e una strada (la direttrice). Cerchiamo i punti che distano β€” a isolati β€” la stessa quantitΓ  dal fuoco e dalla retta.

Il risultato taxi ha un dettaglio elegante: in cima Γ¨ fatto di due semirette verticali dritte, e solo verso il vertice piega in due rami obliqui. Il vertice sta esattamente a metΓ  strada tra fuoco e direttrice.

Definizione 5.1 β€” Parabola Taxicab
Dato un fuoco F e una direttrice r, la parabola taxicab Γ¨:

𝒫 = { P(x,y) : d₁(P,F) = d₁(P,r) }

dove d₁(P,r) Γ¨ la distanza L₁ di P dalla retta r.
Dettaglio matematico Β· regioni e formula master

Per una direttrice orizzontale r: y = k e fuoco F(xF, yF) con yF > k, la distanza L₁ da P alla direttrice Γ¨ semplicemente |y βˆ’ k|. Ponendo p = yF βˆ’ k, l'equazione diventa |xβˆ’xF| + |yβˆ’yF| = |yβˆ’k|.

Le quattro regioni, determinate da y = k e y = yF come rette critiche orizzontali e x = xF come verticale, producono:

RegioneCondizioneEquazioneTipo
Ay β‰₯ yF|xβˆ’xF| = yF βˆ’ k = pDue semirette verticali
ByV ≀ y < yF, x β‰₯ xFx = 2y βˆ’ yF βˆ’ k + xF2 passi in x per 1 in y
CyV ≀ y < yF, x < xFx = βˆ’2y + yF + k + xF2 passi in x per 1 in y
Dy < yVβ€”Impossibile

dove yV = (yF + k)/2 Γ¨ il vertice della parabola, a metΓ  strada tra fuoco e direttrice. Sotto il vertice non c'Γ¨ alcun punto del luogo.

Formula Master β€” Parabola Taxicab (direttrice orizzontale y = k) Vertice: y_V = (y_F + k) / 2 (metΓ  strada fuoco–direttrice) Semiretta sinistra: x = x_F βˆ’ p, y β‰₯ y_F Ramo sinistro: x = βˆ’2y + y_F + k + x_F, y_V ≀ y ≀ y_F Ramo destro: x = 2y βˆ’ y_F βˆ’ k + x_F, y_V ≀ y ≀ y_F Semiretta destra: x = x_F + p, y β‰₯ y_F dove p = y_F βˆ’ k

Per una direttrice obliqua di equazione ax + by + c = 0, la distanza L₁ diventa d₁(P,r) = |ax+by+c| / (|a|+|b|), generando una formula ibrida la cui analisi richiede la medesima tecnica di scioglimento per regioni.

Abbiamo trasformato cerchio, ellisse, iperbole e parabola. È ora di tirare le fila.

p 2
p = β€” | F(0, β€”) | y = 0
Trascina il fuoco Β· muovi P Β· usa lo slider p. P Γ¨ equidistante (a isolati) dal fuoco e dalla direttrice.
Β§6

Oltre il taxi: Minkowski e il teorema di GoΕ‚Δ…b

La geometria del taxi non Γ¨ un caso isolato: Γ¨ un membro di una famiglia piΓΉ grande, la geometria di Minkowski. Qui possiamo scegliere come misurare le distanze β€” e a ogni scelta cambia la forma del "cerchio".

Distanza di Minkowski (norma Lβ‚š)
Per un parametro p β‰₯ 1:

dp(A,B) = ( |Ξ”x|α΅– + |Ξ”y|α΅– )1/p

p = 1 β†’ taxi (il cerchio Γ¨ un rombo) Β· p = 2 β†’ euclidea (cerchio) Β· p = ∞ β†’ scacchiera/re (il cerchio Γ¨ un quadrato).

CuriositΓ : la geometria del taxi (L₁) e quella della scacchiera (L∞) sono gemelle β€” una rotazione di 45Β° trasforma l'una nell'altra. Il rombo diventa quadrato, e viceversa.

Teorema di GoΕ‚Δ…b (1932)
In qualunque geometria definita da una norma, il "Ο€" di quella geometria β€” il rapporto tra il perimetro del cerchio unitario e il suo diametro β€” Γ¨ intrappolato in un intervallo preciso:

3 ≀ Ο€ ≀ 4

Il minimo, π = 3, si ottiene quando il cerchio è un esagono regolare. Il massimo, π = 4, quando il cerchio è un quadrato — cioè proprio nella geometria del taxi.

Morale: il nostro Ο€ = 4 non Γ¨ una bizzarria isolata. È l'estremo massimo possibile in ogni universo geometrico coerente β€” e nessuna geometria potrΓ  mai avere un Ο€ piΓΉ piccolo di 3.

p=∞ p=2 p=1

I "cerchi unitari" al variare di p: rombo (taxi, p=1), cerchio (euclidea, p=2), quadrato (scacchiera, p=∞).

Β§7

In sintesi

Una sola idea attraversa tutto: cambia il modo di misurare le distanze e cambia la geometria. Passando dalla linea d'aria agli isolati, le forme familiari si trasformano β€” e spuntano risultati che sembrano impossibili.

Ο€ = 4

Nel taxi il rapporto perimetro/diametro del "cerchio" Γ¨ esattamente 4 β€” e per il teorema di GoΕ‚Δ…b Γ¨ il massimo possibile (3 ≀ Ο€ ≀ 4).

β—‹ β†’ β—‡

Il cerchio diventa un quadrato ruotato di 45Β°: un rombo.

8 lati

L'ellisse, con fuochi obliqui, Γ¨ quasi sempre un ottagono.

Dove si usa davvero

  • Navigatori e routing urbano β€” in una cittΓ  a griglia il percorso reale si misura a isolati, non in linea d'aria.
  • Logistica e consegne β€” stimare tempi e costi di spostamento su una rete di strade ortogonali.
  • Machine learning β€” la distanza di Manhattan (norma L₁) compare in k-NN, clustering e regolarizzazione, spesso piΓΉ robusta agli outlier dell'euclidea.
  • Progettazione di circuiti (VLSI) β€” le piste corrono in orizzontale e verticale: la loro lunghezza Γ¨ una distanza L₁.
  • Scacchi β€” il movimento della torre conta proprio passi orizzontali e verticali.

Il modo migliore per capirle Γ¨ costruirle.

Β§ 08

Calcolatore Grafico

Costruisci e analizza luoghi geometrici nella metrica L₁