Geometria del Taxi — Metrica L₁

§1

Fondamenti Teorici: la Metrica L₁

Immaginiamo di trovarci in una città a griglia perfetta — Manhattan. Per andare dall'angolo A all'angolo B non possiamo volare in diagonale: dobbiamo percorrere blocchi orizzontali e verticali. La distanza che percorriamo in questo modo è la distanza di Manhattan, o distanza L₁.

Definizione 1.1 — Metrica L₁ (distanza di Manhattan)
Dati due punti P(x, y) e A(xₐ, yₐ) nel piano reale ℝ², si definisce la distanza di Manhattan:

d₁(P, A) = |x − xₐ| + |y − yₐ|

La presenza dei valori assoluti rende il calcolo analitico meno diretto rispetto alla metrica euclidea. Per trattare algebricamente questi termini è necessario scioglierli distinguendo i casi in base al segno dell'argomento.

Definizione 1.2 — Scioglimento di |x − c|
Per ogni costante c ∈ ℝ, si ha:

|x − c| = x − c se x ≥ c
|x − c| = c − x se x < c

Il valore x = c è detto valore critico e corrisponde alla retta verticale che separa i due casi.

Le rette critiche partizionano il piano in regioni in ciascuna delle quali tutti i moduli hanno segno costante, riducendo l'equazione del luogo a un sistema lineare. Questa tecnica — la costruzione della griglia di regioni — è il metodo unificante di tutta la geometria del taxi.

Proprietà	Metrica L₂ (euclidea)	Metrica L₁ (Manhattan)
Formula	√((x−xₐ)² + (y−yₐ)²)	\|x−xₐ\| + \|y−yₐ\|
"Cerchio" unitario	Cerchio continuo	Quadrato ruotato 45°
Natura dei luoghi	Coniche (curve lisce)	Poligoni (segmenti)
Simmetrie	Tutte le rotazioni	Solo riflessioni assiali
Disuguaglianza	d₂ ≤ d₁	d₁ ≤ √2 · d₂

Cerchio L₂ (tratteggiato) e circonferenza taxicab L₁ (rosso) con stesso centro e raggio unitario.

§2

La Circonferenza Taxicab

Definizione 2.1 — Circonferenza Taxicab
La circonferenza taxicab di centro C(x꜀, y꜀) e raggio R è l'insieme dei punti P(x, y) tali che:

d₁(P, C) = R ⟺ |x − x꜀| + |y − y꜀| = R

Le rette critiche x = x꜀ e y = y꜀ dividono il piano in 4 quadranti. In ciascuno, i moduli si sciolgono con segni costanti, riducendo l'equazione a una retta lineare.

Regione	Condizione	Equazione sciolta	Pendenza
R_I (NE)	x ≥ x꜀, y ≥ y꜀	y = −x + (x꜀ + y꜀ + R)	−1
R_II (NW)	x < x꜀, y ≥ y꜀	y = x − (x꜀ − y꜀ − R)	+1
R_III (SW)	x < x꜀, y < y꜀	y = −x + (x꜀ + y꜀ − R)	−1
R_IV (SE)	x ≥ x꜀, y < y꜀	y = x − (x꜀ − y꜀ + R)	+1

Teorema 2.1

La circonferenza taxicab è un quadrato ruotato di 45° con vertici:
V_N = (x꜀, y꜀+R), V_E = (x꜀+R, y꜀), V_S = (x꜀, y꜀−R), V_W = (x꜀−R, y꜀).

Perimetro euclideo: 4R√2. Area: 2R².

Una conseguenza notevole: in questa geometria il rapporto tra perimetro e diametro vale:

π₁ = Perimetro / (2R) = 4R√2 / (2R) = 2√2 ≈ 2.828... oppure, usando il "diametro" taxicab (2R): π₁ = 4R√2 / 2R = 2√2 Con la convenzione d = 2R (diametro taxicab): π₁ = 4

Il valore π₁ = 4 (rispetto a π ≈ 3.14159…) è uno dei risultati più sorprendenti della geometria del taxi.

R 3

x꜀ 0

Perimetro = — | Area = — | π₁ = 4

§3

Ellisse Taxicab: il Metodo delle 9 Regioni

Definizione 3.1 — Ellisse Taxicab
Dati F₁(x₁, y₁), F₂(x₂, y₂) e una costante 2a > d₁(F₁, F₂), l'ellisse taxicab è:

𝓔 = { P(x,y) : d₁(P,F₁) + d₁(P,F₂) = 2a }

Poniamo d₀ = d₁(F₁,F₂) e k = a − d₀/2. Le rette critiche x = x₁, x = x₂, y = y₁, y = y₂ creano una griglia 3×3 di 9 regioni R_ij. Questa partizione è la chiave del metodo.

Analizzando il segno dei moduli in ciascuna regione, si ottengono i contributi al luogo geometrico:

R₂₂ (tra i fuochi): la somma vale costantemente d₀ → contribuisce solo se 2a = d₀
R₂₁ e R₂₃ (sopra/sotto tra i fuochi): rette orizzontali
R₁₂ e R₃₂ (a sinistra/destra tra i fuochi): rette verticali
R₁₁, R₁₃, R₃₁, R₃₃ (angoli esterni): rette con pendenza ±1

Proposizione 3.1

Per fuochi obliqui (x₁≠x₂, y₁≠y₂) e 2a > d₀, l'ellisse taxicab è un ottagono (o esagono se k supera metà della distanza tra i fuochi su uno degli assi). Per fuochi collineari sull'asse x o y: rettangolo.

Proposizione 3.2 — Caso Degenere

Se 2a = d₀, il luogo non è una linea ma una regione bidimensionale: il rettangolo [x₁,x₂] × [y₁,y₂]. Ogni punto interno ha somma delle distanze esattamente pari a d₀.

Esempio numerico. F₁(0,0), F₂(4,2), 2a = 10.

Dato	Calcolo	Valore
d₀	\|4−0\| + \|2−0\|	6
k	5 − 6/2	2
x_sin	(0+4)/2 − k = 2 − 2	0
x_des	(0+4)/2 + k = 2 + 2	4 → 6 (con offset fuochi)
Forma	k=2 < hw=2 → esagono	6 vertici

2a 8

d₀ = — | k = —

§4

Iperbole Taxicab: la Differenza delle Distanze

Definizione 4.1 — Iperbole Taxicab
Dati F₁(x₁,y₁), F₂(x₂,y₂) e 0 < 2a < d₁(F₁,F₂):

ℋ = { P(x,y) : |d₁(P,F₁) − d₁(P,F₂)| = 2a }

Equivale a due rami: d₁(P,F₁) − d₁(P,F₂) = +2a e d₁(P,F₁) − d₁(P,F₂) = −2a.

Applicando il metodo delle 9 regioni al Ramo 1 (differenza = +2a), si ottengono i seguenti risultati nelle regioni non banali:

Regione	Risultato
R₁₁ (NW esterno)	Nessuna soluzione
R₃₃ (SE esterno)	Esiste solo se 2a = d₀
R₂₁	Segmento verticale x = (x₁+x₂)/2 + a
R₂₃	Segmento x = (x₁+x₂)/2 + a − (y₂−y₁)/2

Proposizione 4.1

Per 0 < 2a < d₀, l'iperbole taxicab è formata da due rami poligonali. Per fuochi su asse orizzontale (y₁ = y₂): i due rami sono due segmenti verticali paralleli. Per fuochi obliqui: ogni ramo è un poligono a 3–4 lati.

2a 2

d₀ = — | 2a = —

§5

La Parabola Taxicab

Definizione 5.1 — Parabola Taxicab
Dato un fuoco F e una direttrice r, la parabola taxicab è:

𝒫 = { P(x,y) : d₁(P,F) = d₁(P,r) }

dove d₁(P,r) è la distanza L₁ di P dalla retta r.

Per una direttrice orizzontale r: y = k e fuoco F(x_F, y_F) con y_F > k, la distanza L₁ da P alla direttrice è semplicemente |y − k|. Ponendo p = y_F − k, l'equazione diventa |x−x_F| + |y−y_F| = |y−k|.

Le quattro regioni, determinate da y = k e y = y_F come rette critiche orizzontali e x = x_F come verticale, producono:

Regione	Condizione	Equazione	Tipo
A	y ≥ y_F	\|x−x_F\| = y_F − k = p	Due semirette verticali
B	k ≤ y < y_F, x ≥ x_F	x = 2y − y_F − k + x_F	Pendenza +2
C	k ≤ y < y_F, x < x_F	x = −2y + y_F + k + x_F	Pendenza −2
D	y < k	—	Impossibile

Formula Master — Parabola Taxicab (direttrice orizzontale y = k) Semiretta sinistra: x = x_F − p, y ≥ y_F Ramo sinistro: x = −2y + y_F + k + x_F, k ≤ y ≤ y_F Ramo destro: x = 2y − y_F − k + x_F, k ≤ y ≤ y_F Semiretta destra: x = x_F + p, y ≥ y_F dove p = y_F − k

Per una direttrice obliqua di equazione ax + by + c = 0, la distanza L₁ diventa d₁(P,r) = |ax+by+c| / (|a|+|b|), generando una formula ibrida la cui analisi richiede la medesima tecnica di scioglimento per regioni.

p 2

p = — | F(0, —) | y = 0

Quando la retta più brevenon è la diagonale

Fondamenti Teorici: la Metrica L₁

La Circonferenza Taxicab

Ellisse Taxicab: il Metodo delle 9 Regioni

Iperbole Taxicab: la Differenza delle Distanze

La Parabola Taxicab

Quando la retta più breve
non è la diagonale